La factorisation correcte est : 2 e^{x}+1+e^{2 x}=\left(1+e^{x}\right)^{2} \cdot e^{-x} Donc: f(x)=\ln \left(\left(1+e^{x}\right)^{2} \cdot e^{-x}\right)=2 \ln \left(1+e^{x}\right)-x Or : 2\left[x+\ln \left(e^{-x}+1\right)\right]=2 x+2 \ln \left(e^{-x}+1\right) Mais: \ln \left(e^{-x}+1\right)=\ln \left(\frac{1+e^{x}}{e^{x}}\right)=\ln \left(1+e^{x}\right)-x Donc: 2 x+2\left(\ln \left(1+e^{x}\right)-x\right)=2 \ln \left(1+e^{x}\right)-x C'est bien \mathbf{f ( x )}. La réponse D est correcte.
Pourquoi A est fausse
\left(1+e^{x}\right) \ln (2) correspond à \ln \left(2^{1+e^{x}}\right). Cela n'a aucun lien algébrique avec la forme donnée. Erreur classique : confondre \ln (a+b) \neq \ln (a)+\ln (b)
Pourquoi B est fausse
\ln ^{2}\left(1+e^{x}\right) signifie \left(\ln \left(1+e^{x}\right)\right)^{2}, un carré, totalement incompatible avec la forme factorisée.
Pourquoi C est fausse
Le résultat obtenu après simplification n'est pas linéaire. Il resterait forcément un logarithme dans la fonction.
Dans un triangle rectangle dont l'un des angles aigus mesure \mathbf{3 0}^{\circ}, on est dans un triangle \mathbf{3 0}^{\circ}-\mathbf{6 0}^{\circ}-\mathbf{9 0}^{\circ}. On connaît les longueurs relatives : - côté opposé à 30^{\circ}=\frac{H}{2} - côté opposé à 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} H
L'aire se calcule via : Aire =\frac{1}{2} \times\left(\frac{H}{2}\right) \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2} H\right)=\frac{\sqrt{3}}{8} H^{2} On sait que l'aire vaut 200 \sqrt{3}, donc \frac{\sqrt{3}}{8} H^{2}=200 \sqrt{3} Simplification par \quad \sqrt{3} \rightarrow \frac{H^{2}}{8}=200
\begin{aligned} & H^{2}=1600 & H=40 \end{aligned}
Donc l'hypoténuse mesure \mathbf{4 0 ~ c m}.
Pourquoi B est fausse (50) Si H=50, les côtés seraient : - 25 - 25 \sqrt{3}
Aire : \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 25 \sqrt{3}=312,5 \sqrt{3} Ce n'est pas 200 \sqrt{3}. B est donc fausse.
Pourquoi C est fausse (50 \sqrt{3}) Cathetes: - 25 \sqrt{3} - 75
Aire : \frac{1}{2} \cdot 25 \sqrt{3} \cdot 75=937,5 \sqrt{3} Beaucoup trop grande → erreur d'échelle. C est fausse.
Pourquoi D est fausse (100 \sqrt{3}) Cathetes: - 50 \sqrt{3} - 150
Aire : \frac{1}{2} \cdot 50 \sqrt{3} \cdot 150=3750 \sqrt{3} Aucun rapport avec 200 \sqrt{3}. D est fausse.
On utilise deux propriétés fondamentales : - \ln (\exp (u))=u pour tout réel u - \exp (\ln (x))=x, pour x>0
Dans la proposition D : \ln \left(\exp \left(\sin ^{5}(1)\right)\right)=\sin ^{5}(1) L'identité est donc toujours vraie. Aucun piège : c'est une simple application de \ln (\exp (x))=x.
Pourquoi A est fausse Dérivons correctement : \frac{d}{d x}[\ln (3 x)]=\frac{1}{3 x} \cdot 3=\frac{1}{x} La proposition donne \frac{1}{3} \ln (3), qui n'a rien à voir : ce n'est pas une dérivée, ce n'est pas une fonction de x, c'est une constante incorrecte.
Pourquoi B est fausse Erreur classique : on ne peut PAS transformer une addition en multiplication sous un logarithme. \ln (2+a) \neq \ln (2 a)
La seule règle correcte est: \ln (x y)=\ln (x)+\ln (y) Mais jamais: \ln (x+y)=\ln (x)+\ln (y) Donc B est fausse.
Pourquoi C est fausse Proposition C affirme : \ln (2) \ln (a)=\ln (a)+\ln (2) C'est impossible car : - À gauche → produit de deux logarithmes - À droite → somme de deux logarithmes
Ces opérations n'ont aucun lien algébrique. Ce serait comme dire : 3 \cdot 4=3+4
